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Mathematical finance - Martingale Theory

Il concetto intuitivo di Martingala - Martingale Theory

Nella modellistica finanziaria viene fatta la seguente assunzione di base: il prezzo di uno strumento finanziario scambiato sui mercati segue un processo stocastico avente la proprietà di essere una Martingala (Martingale Stochastic Process). Ciò significa che il suo valore atteso, sotto una determinata misura di probabilità e per un dato numerario, equivale al valore corrente.

In pratica, con i dovuti aggiustamenti che tengono conto della rischiosità del titolo e dei tassi di interesse, si assume che non sia possibile in media ottenere extra-profitti dagli investimenti. Fare extra-profitti significa disporre di strategie di trading tali da realizzare, in modo continuativo e consistente, extra-profitti rispetto ad investimenti di pari rischiosità.

Per una prima esposizione al concetto di Martingala si veda:
definizione e storia da Wikipedia

Back ground

Per capire l'importanza della Martingala quale concetto fondamentale per il pricing, è necessario avere alcuni rudimenti di calcolo stocastico, partendo dalla definizione e dalle proprietà dei processi stocastici:
http://it.wikipedia.org/wiki/Processo_stocastico.

Alcuni concetti di base, per chi non abbia un backgound quantitativo, sono esposti al seguente link:
http://www.probabilitytheory.info/

Facciamo un passo indietro. L'elemento da cui partire per capire la modellistica finanziaria è il concetto statistico di variabile casuale, definita sia per eventi discreti che continui. Una variabile casuale è una legge che associa ad ogni possibile evento un valore numerico (o un range di valori); in questo modo, si trasformano elementi qualitativi (colori, suoni, eventi della vita comune) in elementi quantitativi, e quindi ordinabili e sommabili. Una trattazione intuitiva del concetto di random variable la si trova al seguente link: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable.

Il prezzo del titolo IBM tra un anno di tempo è un esempio di variabile casuale: il prezzo, espresso in dollari (e quindi in valori numerici) è funzione di una serie di possibili eventi riguardanti la società. Se consideriamo una collezione di variabili causali, una per ogni orizzonte temporale di riferimento (1 giorno, 1 settimana, 1 mese, 1 anno etc.), fino a considerare una continuità di orizzonti futuri, dal prossimo istante fino ad un anno di tempo da oggi, otteniamo un processo stocastico (stochastic process). Una trattazione convincente la si trova a questo link:
http://orfeu.mat.ub.es/~nualart/StochProc.pdf.

Brownian Motion

Il moto browniano (o Brownian Motion) ricopre sicuramente il ruolo di idea principale nella modellistica finanziaria, risultando alla base di qualunque modello di pricing comunemente accettato. Non ci risulta infatti l'esistenza di modelli standard di pricing che utilizzino uno strumento diverso dal Brownian Motion per modellizzare l'aleatorietà degli eventi finanziari (benché strumenti diversi siano possibili).

L'idea del Brownian Motion, nella sua eleganza teorica e nella limpidezza dell'idea sottostante di casualità pura del movimento, la si può avere a livello ottico a questo link:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/brownian/brownian.html.

Alcuni cenni storici sul Brownian Motion, la paternità della definizione e l'analisi rigorosa da parte di Brown e di Einstein sono contenuti in questo link:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/BrownianMotion.htm.