Mathematical finance - Martingale Theory
“Bringing the Excellence of the Big Banks to the Smaller Players”
Il concetto intuitivo di Martingala - Martingale Theory
Nella modellistica finanziaria viene fatta la seguente assunzione di base: il prezzo di uno
strumento finanziario scambiato sui mercati segue un processo stocastico avente la
proprietà di essere una Martingala (Martingale Stochastic Process). Ciò significa che il
suo valore atteso, sotto una determinata misura di probabilità e per un dato numerario,
equivale al valore corrente.
In pratica, con i dovuti aggiustamenti che tengono conto della rischiosità del titolo e dei
tassi di interesse, si assume che non sia possibile in media ottenere extra-profitti dagli
investimenti. Fare extra-profitti significa disporre di strategie di trading tali da realizzare, in
modo continuativo e consistente, extra-profitti rispetto ad investimenti di pari rischiosità.
Per una prima esposizione al concetto di Martingala si veda:
definizione e storia da Wikipedia
Back ground
Per capire l'importanza della Martingala quale concetto fondamentale per il pricing, è
necessario avere alcuni rudimenti di calcolo stocastico, partendo dalla definizione e dalle
proprietà dei processi stocastici: http://it.wikipedia.org/wiki/Processo_stocastico.
Alcuni concetti di base, per chi non abbia un backgound quantitativo, sono esposti al
seguente link: http://www.probabilitytheory.info/
Facciamo un passo indietro. L'elemento da cui partire per capire la modellistica
finanziaria è il concetto statistico di variabile casuale, definita sia per eventi discreti che
continui. Una variabile casuale è una legge che associa ad ogni possibile evento un
valore numerico (o un range di valori); in questo modo, si trasformano elementi qualitativi
(colori, suoni, eventi della vita comune) in elementi quantitativi, e quindi ordinabili e
sommabili. Una trattazione intuitiva del concetto di random variable la si trova al
seguente link: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable.
Il prezzo del titolo IBM tra un anno d tempo è un esempio di variabile casuale: il prezzo,
espresso in dollari (e quindi in valori numerici) è funzione di una serie di possibili eventi
riguardanti la società. Se consideriamo una collezione di variabili causali, una per ogni
orizzonte temporale di riferimento (1 giorno, 1 settimana, 1 mese, 1 anno etc.), fino a
considerare una continuità di orizzonti futuri, dal prossimo istante fino ad un anno di
tempo da oggi, otteniamo un processo stocastico (stochastic process). Una trattazione
convincente la si trova a questo link: http://orfeu.mat.ub.es/~nualart/StochProc.pdf.
Brownian Motion
Il moto browniano (o Brownian Motion) ricopre sicuramente il ruolo di idea principale
nella modellistica finanziaria, risultando alla base di qualunque modello di pricing
comunemente accettato. Non ci risulta infatti l'esistenza di modelli standard di pricing che
utilizzino uno strumento diverso dal Brownian Motion per modellizzare l'aleatorietà degli
eventi finanziari (benché strumenti diversi siano possibili).
L'idea del Brownian Motion, nella sua eleganza teorica e nella limpidezza dell'idea
sottostante di casualità pura del movimento, la si può avere a livello ottico a questo link:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/brownian/brownian.html
Alcuni cenni storici sul Brownian Motion, la paternità della definizione e l'analisi rigorosa
da parte di Brown e di Einstein sono contenuti in questo link:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/BrownianMotion.htm
Nella modellistica finanziaria viene fatta la seguente assunzione di base: il prezzo di uno
strumento finanziario scambiato sui mercati segue un processo stocastico avente la
proprietà di essere una Martingala (Martingale Stochastic Process). Ciò significa che il
suo valore atteso, sotto una determinata misura di probabilità e per un dato numerario,
equivale al valore corrente.
In pratica, con i dovuti aggiustamenti che tengono conto della rischiosità del titolo e dei
tassi di interesse, si assume che non sia possibile in media ottenere extra-profitti dagli
investimenti. Fare extra-profitti significa disporre di strategie di trading tali da realizzare, in
modo continuativo e consistente, extra-profitti rispetto ad investimenti di pari rischiosità.
Per una prima esposizione al concetto di Martingala si veda:
definizione e storia da Wikipedia
Back ground
Per capire l'importanza della Martingala quale concetto fondamentale per il pricing, è
necessario avere alcuni rudimenti di calcolo stocastico, partendo dalla definizione e dalle
proprietà dei processi stocastici: http://it.wikipedia.org/wiki/Processo_stocastico.
Alcuni concetti di base, per chi non abbia un backgound quantitativo, sono esposti al
seguente link: http://www.probabilitytheory.info/
Facciamo un passo indietro. L'elemento da cui partire per capire la modellistica
finanziaria è il concetto statistico di variabile casuale, definita sia per eventi discreti che
continui. Una variabile casuale è una legge che associa ad ogni possibile evento un
valore numerico (o un range di valori); in questo modo, si trasformano elementi qualitativi
(colori, suoni, eventi della vita comune) in elementi quantitativi, e quindi ordinabili e
sommabili. Una trattazione intuitiva del concetto di random variable la si trova al
seguente link: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable.
Il prezzo del titolo IBM tra un anno d tempo è un esempio di variabile casuale: il prezzo,
espresso in dollari (e quindi in valori numerici) è funzione di una serie di possibili eventi
riguardanti la società. Se consideriamo una collezione di variabili causali, una per ogni
orizzonte temporale di riferimento (1 giorno, 1 settimana, 1 mese, 1 anno etc.), fino a
considerare una continuità di orizzonti futuri, dal prossimo istante fino ad un anno di
tempo da oggi, otteniamo un processo stocastico (stochastic process). Una trattazione
convincente la si trova a questo link: http://orfeu.mat.ub.es/~nualart/StochProc.pdf.
Brownian Motion
Il moto browniano (o Brownian Motion) ricopre sicuramente il ruolo di idea principale
nella modellistica finanziaria, risultando alla base di qualunque modello di pricing
comunemente accettato. Non ci risulta infatti l'esistenza di modelli standard di pricing che
utilizzino uno strumento diverso dal Brownian Motion per modellizzare l'aleatorietà degli
eventi finanziari (benché strumenti diversi siano possibili).
L'idea del Brownian Motion, nella sua eleganza teorica e nella limpidezza dell'idea
sottostante di casualità pura del movimento, la si può avere a livello ottico a questo link:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/brownian/brownian.html
Alcuni cenni storici sul Brownian Motion, la paternità della definizione e l'analisi rigorosa
da parte di Brown e di Einstein sono contenuti in questo link:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/BrownianMotion.htm
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"It's not that I am smart, it's just that I stay with problems
longer." Albert Einstein
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